整理自己考研备考数学错题,

以及一些常考的考点总结,

方便后面回顾复习的时候按知识点翻阅错题本。

图片来源网络

函数、极限、连续

1. 常考点:

  • 无界与无穷大:无穷大是无界,而无界未必是无穷大,常见无界非无穷大的函数记两个。错题4
  • 间断点:间断点要讨论的点为无定义点和分段点,需要分左右讨论极限的情况有三种。错题13
  • 夹逼准则:夹逼准则一般有n为有限个和无限个两种情况来放缩。错题7
  • 变限积分判断阶数:直接用口算来算出阶数,积分与积分之间也可以等价。 错题35系列
  • 含有抽象函数的求极限:把已知的部分用泰勒展开
  • 单调有界准则:单调可用差、商、数学归纳和求导来证明,有界可用恒等变形、基本不等式和数学归纳法反证。 错题40
  • 概念题

2. 易错点:

  • 等价代换原理:求极限时使用到等价代换原理,一定要注意等价代换失效的情况,典型错题 19 660NO.4 笔记例2

3. 题集:

  • 概念题
    • 局部保号性 660NO.11
    • 洛必达法则概念 20 660NO.7
    • 无界与无穷大 4 1000P4A1.8 5 1000P4A1.10
    • 夹逼准则的条件 660NO.10
    • 数列收敛的性质 1 1000P3A1.1 660NO.9
  • 求极限
    • 级数审敛性 NO.8
    • 幂级数和函数 NO.9
    • 定积分的精确定义 NO.7
    • 等价无穷小代换 10 18P51习题2.7 11 18P51习题2.8 NO.12
    • 含有抽象函数的求极限 38
    • 含积分的极限处理 14 1000P5A1.19(16)
    • 数列极限 NO.10 NO.14
    • 拉格朗日中值定理 NO.15
    • 其他 NO.11 NO.13
    • 等价代换原理会挂掉的题:用泰勒处理比较好,用诺必达一定会再次可用用等价代换原理代换的情况 19 660NO.482
  • 极限(不)存在及推广 2 1000P3A1.2 3 1000P4A1.11 34
  • 函数有界性的判别 6 18P33例2.7
  • 夹逼准则 7 18P36例2.10 7.1 1000P4A1.18 1000P7B1.29
  • 已知函数极限求参数 12 1000P5A1.30 36 1000P7B1.18
  • 间断点
    • 函数以极限给出,求极限得分段函数 13 22 660NO.18 1000P7B1.28
  • 无穷小比阶 35 B1.2
  • 泰勒展开 39 1000P7B1.19
  • 单调有界准则 40 1000P7B1.26

一元函数微分学

1. 常考点:

  • 渐近线:从水平渐近线、铅直渐近线、斜渐近线三中渐近线来判断渐近线的条数 18讲P79
  • 常数不等式证明:通常做法是将常数变量化,转化为证一个函数的单调性,常用技巧取对数等。错题17
  • 不等式证明:可从单调性、最值、中值定理、凹凸性和泰勒公式来解决。错题18
  • 高阶导数:会推出常用的高阶导数,乘积高阶导数用莱布尼茨公式,相加减高阶导数拆开后求高阶导,其他题型见 错题41 42
  • 零点问题
    • 零点定理:设f(x)在[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0,则f(x)=0在(a,b)内至少有一个根。(用于证明根的存在性)
    • 单调性:在一个区间内单调,则f(x)在区间内至多有一个根。(用于证明根的唯一性)
    • 罗尔推论:若函数的n阶导数不等于零,则原函数至多有n个根。(用于判断实根的个数)
  • 微分的概念 76 660NO.29
  • 驻点和拐点定义660NO.46
    • 驻点:通常称导数等于0的点为函数的驻点,驻点一定为极值点,极值点不一定是驻点。
    • 拐点:函数由凸转凹或由凹转凸的交界点,拐点处二阶导数可能为零,也可能是二阶导数不存在。

2. 易错点

  • 利用极限为常数,分母导数为零的时候,不要忘了还有保号性可用。 660NO.45
  • 若f(x)在R上可导且单调增加,则对一切x属于R都有f’(x)>=0,例如f(x)=x^3

3. 题集:

  • 导数定义求导数 8 1000P9A2.1 15 1000P11A2.21 32 1000P14B2.12 1000P14B2.20 1000P15B2.25
  • 微分的概念 76 660NO.29
  • 导数定义判定可导性 9 18P64例3.4(笔记本1有详解) 660NO.42
    • |f(x)|的可导性 24 660NO.36
    • 复合函数可导性 56 660NO.37
  • 反函数求导 16 1000P12A2.33 1000P14B2.22
  • 不等式证明 18 1000P12A2.39
    • 常数不等式证明 17 1000P12A2.41
    • 利用常用不等式证明 52 1000P17B2.76
    • 利用Taylor证明 53 1000P17B2.78 55 1000P17B2.75
  • 极值的判别 31 1000P13B2.5
  • 高阶导数 33 1000P14B2.21 41 1000P14B2.23 42 1000P15B2.43 59 灰17 660NO.499
  • 零点问题 43 1000P16B2.52
  • 微分中值定理
    • 罗尔定理 44 1000P16B2.53 50 1000P17B2.69 54 1000P16B2.62 75
    • 费马定理 45 1000P16B2.54(拉氏)
    • 拉格朗日中值定理 51 1000P17B2.70
    • 高阶导问题(Taylor、拉氏) 46 1000P16B2.55 49 1000P17B2.67(介值定理)
    • 双中值问题(拉氏、柯氏) 47 1000P16B2.56
    • 综合技巧题 48 1000P16B2.57(常数K值法)

一元函数积分学

1. 常考点:

  • 原函数存在定理:连续函数必有原函数、含第一类间断点(跳跃、可去)和无穷间断点的函数f(x)在包含该间断点的区间内必没有原函数F(x)。(可导函数F(x)求导后的函数F’(x) = f(x)不一定是连续函数,但是如果有间断点,一定是第二类间断点(即震荡间断点)) 1000P22B3.1 18P127例7.3
  • 积分中值定理:变限积分题目中常常涉及到。
  • 积分函数的奇偶性:连续的奇函数的一切原函数都是偶函数;连续的偶函数的原函数只有一个为奇函数。常考给定积分函数判断其奇偶性,只需判断f(x)的奇偶性即可得出答案。27 1000P20A3.5
  • 积分函数的周期性:灵活掌握并证明周期性的几个结论 18P130例7.7 1000P27B3.78
  • 反常积分敛散性

2. 题集:

  • 求不定积分
    • 凑微分 25 1000P20A3.2 NO.4 NO.5
    • 根式换元 NO.11 NO.24 NO.13 NO.22 NO.24
    • 抽象或半抽象函数的不定积分计算 18P131例7.10 NO.6
    • 三角函数恒等变形 NO.8 NO.9 NO.12 NO.20 NO.21
    • 三角函数代换 NO.10 NO.13 NO.15
    • 分段函数的不定积分 NO.7
    • 分部积分 NO.1 NO.14 NO.19 NO.26
    • 有理函数积分 NO.2 NO.16 NO.18
    • 倒代换 NO.16
    • 结论 NO.17
    • 分类讨论 NO.25
  • 求定积分 NO.3
    • 区间再现
    • 莱顿定义 NO.2(易错)
    • 重要公式 NO.1
  • 被积函数中有导数、变限积分 26 1000P21A3.20
  • 积分函数的奇偶性 27 1000P20A3.5 证明见 18P129例7.6 660NO.69
  • 积分函数的周期性
  • 原函数存在定理 18P127例7.3 660NO.65
  • 平均值应用 1000P21A3.25
  • 积分中值定理 57 1000P24B3.22 660NO.66
  • 定积分比较大小 660NO.70 660NO.71

向量代数与空间解析几何

这部分的题都比较简单,但是要理解公式、用熟公式,这里只下自己不是很熟悉的几个知识点,待以后慢慢排坑。

  • 多元函数微分学的几何应用 A4.2
  • 点到空间直线的距离 A4.14
  • 点到平面的距离 A4.19 A4.26
  • 旋转曲面方程 A4.22 A4.24
  • 向量基本运算 A4.5

多元函数微分学

1. 常考点:

  • 二元函数求极限及判断存在性
    • 转化为一元函数来求极限,把其中一个当作常数
    • 根据分子分母的阶数来判断存在与否 30
    • 取不同路径来判断
  • 偏导连续、可微、偏导存在、连续:四者之间关系及各自证明
  • 复合函数求偏导、隐函数求偏导
  • 二阶泰勒公式:记住公式带入就行 1000P36A5.8

2. 题集:

  • 连续、偏导数连续、可微、偏导数存在的关系 1000P35A5.3
  • 隐函数求导综合题 63 74
  • 二元函数无条件极值 64
  • 取极值的条件 1000P35A5.4
  • 定义求偏导数 1000P36PA5.9

多元函数积分学

1. 常考点:

这部分知识点偏多,但难点主要在计算量上,首先需要总结好考点,之后多训练和加强记忆相关的知识点,在用的时候不会忘记。
二重积分:二重积分的概念、两种坐标系下的计算、积分次序的交换
三重积分:三重积分的物理意义、对称性、三种坐标系下的计算以及技术性计算方法
第一型曲线积分:物理意义、对称性、平面三种形式及空间参数形式的计算、边界方程代入、形心公式逆用
第一型曲面积分:物理意义、对称性、化为二重积分的计算
第二型曲线积分:物理意义、有向性、参数方程化定积分、格林公式(补线、补洞)、路径无关
第二型曲面积分:物理意义、化为二重积分计算、高斯公式(补线、补洞)
空间第二型曲线积分:斯托克斯公式
散度和旋度

2. 题集:

无穷级数

1. 常考点:

  • 常用级数:几何级数、p-级数、调和级数、交错调和级数
  • 几个重要的幂级数展开(5个)

2. 题集:

  • 正项级数敛散性 NO.1 NO.2 NO.3 NO.7
  • 正项级数证明题 NO.4
  • 幂级数收敛域及半径 NO.5 NO.6
  • 绝对收敛和条件收敛 NO.8
  • 幂级数和函数 NO.9

常微分方程

1. 常考点:

  • 高阶微分方程:类比二阶解结构,找出根,求出特征方程,最后得出微分方程和通解

2. 题集:

  • 解微分方程
    • 变量可分离型 NO.1
    • 一阶线性微分方程 NO.4
    • xy换位 NO.2
    • y/x代换 NO.3
    • 二阶常系数齐次线性微分方程 NO.7
  • 概念题 66
  • 解结构 65 68 70
  • 微分方程提供信息和其他知识点结合 71 72
  • 证明题 69
  • 高阶微分方程 73 72

易错题

23 660NO.23 定积分NO.2

  • 幂函数极限分类讨论 660NO.3

埋坑题

  • 常见求导 1000P21A3.13
  • 曲率 1000P14B2.15 1000P16B2.58 1000P17B2.64
  • 复合函数求导 1000P15B2.24
  • 没啥办法的概念题 660NO.65
  • 积分中值定理 B3.22
  • 极限处理 660NO.51